实数XYZ满足X+Y+Z=5 XY+YZ+ZX=3则z的最大值是?

2025-05-10 12:22:22

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回答1：

∵xy+yz+zx=3,x+y+z=5
∴x+y=5-z
∴2xy=6-2(y+x)z=6-2(5-z)z=2z^2-10z+6
∴2*(xy+yz+zx)=6
∵x+y+z=5
∴（x+y+z）^2=25
x^2+y^2+z^2+2*(xy+xz+yz)=25
x^2+y^2+z^2=19
∵（x-y）^2≥0,
x^2+y^2-2xy≥0,
x^2+y^2≥2xy,
∴x^2+y^2=2xy时,z^2有最大值，
∴z^2+2xy=19,
∴z^2+2z^2-10z+6=19,
3z^2-10z-13=0
z^2-10z/3-13/3=0
（z-5/3）^2-(8/3)^2=0
(z-13/3)*(z+1)=0
z1=13/3
z2=-1
z1>z2
故z的最大值=13/3

回答2：

给你一个一般方法。
因为X+Y=5-Z ，XY+YZ+ZX=3 ,所以XY=3-Z(5-Z)
所以X、Y是方程m^2 +(Z-5)m +3-Z(5-Z)=0 的两根
因为 Δ≥0
所以 (Z-5)^2 - 4*[3-Z(5-Z)]≥0
即 -1 ≤Z≤13/3
所以Z的最大值为 13/3