星链币 > 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．（1）求证：PD⊥平面A

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．（1）求证：PD⊥平面A

2025-05-10 02:11:52

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回答1：

证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA
又CD⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC?面PAC
故CD⊥面PAC
又∵AE?面PAC，
故CD⊥AE…（4分）
又PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC
∵CD∩PC=C，CD，PC?面PCD
从而AE⊥面PCD，
∵PD?面PCD
故AE⊥PD
易知BA⊥PD，
故PD⊥面ABE…（6分）
（2）如图建立空间直角坐标系，设AC=a，

则A（0，0，0）、P（0，0，a）、B（a，0，0）、 D(0，

，0) ， C(

，

，0) ，
从而

=(0，

，-a) ，

，-

，0) ，…（9分）
设

n 1

=(x，y，z) 为平面PDC的法向量，
则

n 1

y-az=0

n 1

y=0

? 可以取

n 1

=(1，

，2) …（11分）
又

n 2

=(1，0，0) 为平面PAD的法向量，
若二面角A-PD-C的平面角为θ
则 |cosθ|=

n 1

|?|

n 2

…（11分）
因此 sinθ=

．…（12分）