利用还原法求辅助函数：
y'+y''tanx=0
y''=-y'cotx
y''/y'=-cotx
ln|y'|=ln|cscx|+A，其中A是任意常数
y'=Bcscx，其中B是任意常数
y'sinx=B
所以令辅助函数g(x)=f'(x)sinx
因为f(x)在[0,π/2]上连续，且f(0)=0，f(1)=3
所以存在k∈(0,1)，使得f(k)=1
又因为f(x)在(0,π/2)内可导，且f(π/2)=1
所以根据罗尔定理，存在m∈(k,π/2)，使得f'(m)=0
因为g(x)在[0,π/2]上连续，在(0,π/2)上可导
且g(0)=f'(0)sin0=0，g(m)=f'(m)sin(m)=0
所以根据罗尔定理，存在ξ∈(0,m)⊆(0,π/2)，使得g'(ξ)=0
g'(ξ)=f''(ξ)sinξ+f'(ξ)cosξ=0
f'(ξ)+f''(ξ)tanξ=0
证毕
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