解答：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O?平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=
AC=1，1 2
所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A1（0，0，
），C1（-2，0，
3
），E（-1，
3
，1 2
）
3
2
则有：
＝(?1，0，AA1
)，
3
＝(?1，1，0)，
AB
=（-1，
OE
，1 2
）
3
2
设平面A1AB的法向量为
=（x0，y0，z0），则由
n
，可得
?
n
＝0AA1
?
n
＝0
AB
?x0+
z0＝0
3
?x0+y0＝0
故可取
＝(
n
，
3
，1)
3
∴
?
OE
＝0
n
∵OE?平面A1AB
∴OE∥平面A1AB；
（III）解：∵C（-1，0，0），∴
=（-1，0，-
A1C
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