设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(1)=0,f(0)=1,求证:存在一点ξ∈[0,1]使得f`(ξ)=-f(ξ)⼀ξ

2025-05-10 18:11:34

推荐回答（3个）

回答1：

取F(x)=xf(x)，则F(0)=F(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈[0,1]，F'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0

回答2：

函数f(x)在[0,1]上连续,且f(1)=0,f(0)=1
=>存在一点ξ∈[0,1]使得f`(ξ)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=-1且f(ξ)=ξ
=>f`(ξ)=-f(ξ)/ξ

回答3：

即证存在ξ，使f(ξ)+ξf'(ξ)=0
因为∫(0→1)[f(x)+xf'(x)]dx=∫(0→1)f(x)dx+∫(0→1)xd(f(x))=∫(0→1)f(x)dx+xf(x)|(0→1)-∫(0→1)f(x)dx=xf(x)|(0→1)=0，
且f(x)连续，
所以必存在这样的ξ。