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已知，xyz为正实数，xyz(x+y+z)=1,求(x+y)(y+z)的最小值

2025-05-10 13:57:20

推荐回答（4个）

回答1：

x+y=1/xyz-z
y+z=1/xyz-x
1/xyz=x+y+z
设(x+y)(y+z)=a
(x+y)(y+z)=(1/xyz-z)(1/xyz-x)=1/(xyz)平方-1/yz-
1/xy+xz=(x+y+z)/xyz-1/yz-1/xy+xz=1/yz+1/xy+1/xz-1/yz-1/xy+xz=1/xz+xz=a
1+(xz)平方=axz
(xz)平方-axz+1=0
该方程有实数根,所以△大于或等于0
a平方-4≥0
a平方≥4
a≥2或a≤-2
因为xyz为正实数,所以a≥2
那a的最小值为2
即(x+y)(y+z)的最小值为 2
希望能够帮到你。

回答2：

反用内切圆变换：令a=x+y，b=x+z,c=y+z
由海伦公式，有：S三角形ABC=根p(p-a)(p-b)(p-c)=根xyz(x+y+z)=1
即(x+y)(y+z)=2S/sin角B》=2

回答3：

楼上解法正确，我的解法
原式=xy+xz+y²+yz=(x+y+z)+xz=1/xz+xz≥2√(1/xz×xz)=2
当且仅当xz=1/xz时等号成立，此时xz=1

回答4：

自己做