在四棱锥P—ABCD中底面ABCD为平行四边形、角ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点、PO=2且垂直平面ABCD、

解：（I）证明：连接BD，MO
在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，
所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO
因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM
所以PB∥平面ACM
（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC
（III）解：取DO中点N，连接MN，AN
因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN= 1/2PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中， AD=1，AO=12，所以 DO=52，
∴ AN=1/2DO=5/4
在Rt△ANM中， tan∠ANM=MN/AN=1/5/4=4/5
即直线AM与平面ABCD所成的正切值为 4/5

解：（I）证明：连接BD，MO
在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，
所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO
因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM
所以PB∥平面ACM
（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC
（III）解：取DO中点N，连接MN，AN
因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN= PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中， ，所以 ，
∴
在Rt△ANM中，
即直线AM与平面ABCD所成的正切值为