A、物体做曲线运动时所受的合外力不一定是变力，如平抛运动．故A错误；B、匀速圆周运动的加速度的方向不断变化，不是匀变速曲线运动．故B错误；C、曲线运动物体的速度方向与该点曲线的切线方向相同，当物体所受的合外力与物体速度不在同一直线上时，物体一定作曲线运动，故C正确；D、曲线运动物体的速度方向与该点曲线的切线方向相同，所以曲线运动的速度的方向是时刻变化的，它的速度的必定是改变的，加速度不可以为零．故D错误．故选：C
