星链币 > 设函数 f(x)= 1 2 x 2 e x （1）求该函数的单调区间；（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f

设函数 f(x)= 1 2 x 2 e x （1）求该函数的单调区间；（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f

2025-05-10 07:47:52

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回答1：

∵ f(x)=

x 2 e x ，
∴f′（x）=xe^x +

x² e^x =

e^x x（x+2），
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（0，+∞），单调减区间为（-2，0）；
（2）∵当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞f（x）_max ，
由（1）可知，f′（x）=xe^x +

x² e^x =

e^x x（x+2），
令f′（x）=0，可得x=-2或x=0，
∵f（-2）=

e 2

，f（0）=0，f（2）=2e² ，
∴f（x）_max =2e² ，
∴m＞2e² ，
∴实数m的取值范围为m＞2e² ．