1）解：函数f(x)＝
的定义域为（0，+∞），1+lnx x
f′（x）=(
+1 x
)′＝?lnx x
+1 x2
＝?
?x?lnx1 x x2
．lnx x2
由f′（x）=0，解得：x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，由f′（x）＜0，
∴f （x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
函数f （x）在x=1处取得唯一的极值
由题意得
，解得
a＞0 a＜1＜a+
1 3
＜a＜1，故所求实数a的取值范围为(2 3
，1)．2 3
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
恒成立化为：k x+1
≥1+lnx x
，k x+1
即k≤
在[1，+∞）恒成立，(x+1)(1+lnx) x
令g(x)＝
(x≥1)，则g′(x)＝(x+1)(1+lnx) x
x?lnx x2
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′(x)＝1?
≥0，当且仅当x=1时取等号1 x
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h （x）≥h（1）=1＞0
因此g′(x)＝
=x?lnx x2
＞0，∴g （x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）max=g（1）=2，h(x) x2
因此，k≤2，即实数k的取值范围为（-∞，2]；
（3）证明：由（2）知，当x≥1时，不等式f(x)≥
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