星链币 > 已知函数f（x）= 1+lnx x （1）求函数f（x）的极值；（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥

已知函数f（x）= 1+lnx x （1）求函数f（x）的极值；（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥

2025-05-09 03:04:36

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回答1：

（1）因为f（x）=

1+lnx

，x＞0，则f′（x）=-

lnx

x 2

，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）=1，无极小值．
（2）不等式f（x）≥

x+1

，即为

(x+1)(1+lnx)

≥k ，
记g（x）=

(x+1)(1+lnx)

，则g′（x）=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx)

x 2

x-lnx

x 2

，
令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-

，
∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]_min =h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
所以[g（x）]_min =g（1）=2，
所以k≤2，即实数k的取值范围是（-∞，2]．
（3）由（2）知：f（x）≥

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

x+1

＞1-

，
令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-

n(n+1)

，
所以ln（1×2）＞1-

1×2

，ln（2×3）＞1-

2×3

，ln（3×4）＞1-

3×4

，…，ln[n（n+1）]＞1-

n(n+1)

，
叠加得：ln[1×2² ×3² ×…×n² （n+1）]＞n-2[

1×2

2×3

+…+

n(n+1)

]=n-2（1-

n+1

）＞n-2+

n+1

＞n-2．
则1×2² ×3² ×…×n² （n+1）＞e^n-2 ，
所以[（n+1）!]² ＞（n+1）e^n-2 （n∈N^* ）．